一.向下调整建堆

1.二叉树层数与总节点个数关系

层数一定时，在二叉树节点个数最大的情况下，二叉树为满二叉树，如下图所示，可以清晰地看到在满二叉树中第h层有2^(h-1)个节点，总节点N就等于一个等比数列的求和，运用等比数列求和公式可以得到：N = 2^h - 1

 

当然还得考虑节点最少的情况，此时第h-1层仍是满节点的，第h层只有一个节点，此时，可以使用上述公式得到h-1层满二叉树总节点为2^(h-1) - 1个，再加上第h层的1个节点，总节点N = 2^（h-1）个

2.单次向下调整的时间复杂度 

 由最终结论可以看出，无论是节点最多还是最少的情况，h与N关系的量级都是logN,同时h可以表示单次向下调整的最大次数-1，那么单次向下调整的时间复杂度就是logN

3.向下调整总次数

在这篇文章里：【数据结构】二叉树-堆_数据结构树可以有三个子树吗-CSDN博客介绍了向下调整算法的思想，就是从最后一个节点的父节点开始依次进行向下调整，直到最后从下标为0的根节点向下调整完毕，那么这个总的调整次数是多少，这同样是能够计算出的。

从最后一个节点的父节点开始向下调整，即从h-1层开始，该层的每个节点向下调整最多调整1次，第h-2层最多调整2次，如此直到第1层需要h-1次，那么每层对应的最多调整次数乘上每层的节点数，就是最多情况下需要的调整次数了。该数列是等差比数列，使用错位相减法可以得出结论，过程如下图所示：

注：最后一层不需要调整（调整次数为0），故不需要考虑是否是满二叉树的情况，该式子都成立 

4.时间复杂度O（N）

注意，时间复杂度不能仅是简单的N个数据乘以单次向下调整的时间复杂度为（N*logN），这是错误的，必须列出具体的关系式再来看。

时间复杂度看的是最坏情况，此时每个节点的调整次数都是最大。时间复杂度是数据个数（N）和执行次数（T）之间的关系，那么此时用已知的两个结论（二叉树层数与总结点关系的结论），用层数（h）为桥梁建立起T与N的关系为如下，时间复杂度舍小取大，N层级大于logN，取N，则时间复杂度为O（N）

二.向上调整建堆O（N*logN）

明白了向下调整建堆，那么向上调整建堆就很容易了，与向下调整同理，不过得出的结果是向上调整算法的时间复杂度为O（N*logN），远远大于向下调整的O（N），其实这很容易看出，向上调整时越往下调整次数越多，同时越往下每层的节点也越多，多的节点乘以多的调整次数，很显然比不过向下调整的 多节点乘以少的调整次数。

下图中使用的是满二叉树时N对应h的结论，其实不管使用哪个N对应h的结论都一样，因为其量级就为logN，最后的结果也是不变的。

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